الكسور الجزئية

اكتب على صورة كسور جزئية
تمرين 3 ( اذا كان المقام يحوى عوامل خطية مكررة )
3س^2 - 8س +9 / (س - 2)^3
الحل:-
3س^2 - 8س + 9 / ( س - 2)^3 = أ / س - 2 + ب /( س - 2 )^2 + ج / ( س - 2 )^3
............ = أ( س - 2)^2 + ب (س - 2 ) + ج / ( س - 2)^3
ينتج المتطابقة
3س^2 - 8 س + 9 = أ( س - 2)^2 + ب ( س - 2) + ج
لايجاد ج نضع س = 2 ونحصل على 5 = ج ..............ومنها ج = 5
نضع س = 0 ونحصل على 9 = 4 أ - 2 ب + 5 ...........ومنها 2أ - ب = 2 ...................(1)
نضع س = 1 ونحصل على 4 = أ - ب + 5 ...............ومنها أ - ب = -1 .....................(2)
وبطرح المعادلتين نحصل على أ = 3 , ومنها ب = 4
يصبح الكسر 3 س^2 - 8 س + 9 / (س - 2 ) = 3 / س - 2 + 4 / ( س - 2 )^2 + 5 / ( س - 2 )^3

تمرين 4 ( اذا احتوى المقام على عوامل تربيعية غير مكررة )
س^2 - س - 21 / ( 2س -1 ) ( س^2 +4 )
الحل :-
س^2 - س - 21 / ( 2س -1 )( س^2 + 4 ) = أ / 2س - 1 + ب س + ج / س^2 + 4
............= أ(س^2 + 4) + ( 2س - 1) (ب س + ج) / (2س - 1)( س^2 + 4)
نحصل س^2 - س - 21 = أ(س^2 + 4) + (ب س + ج) ( 2س - 1)
ولايجاد أ نضع س = 1/2 .....ونحصل على - 85 / 4 = أ (17 /4) ............ومنها أ = -5
ونضع س = 0 ....... ونحصل على - 21 = أ(4) + (-1)ج .................ومنها ج = 1
نضع س = 1 ........ونحصل على - 21 = 5 أ +(1) ( ب + ج )..........ومنها ب = 3
يصبح الكسر س^2 - س - 21 / (2 س- 1)( س^2 +4) = - 5 / 2س -1 + 3س + 1 / س^2 + 4
_________________

تمرين 5 :-
س^4 - 3 س^2 - س - 1 / س^3 - س^2
نلاحظ ان البسط أكبر درجة من المقام بإ جراء القسمة ( البسط على المقام )
س^4 - 3 س^3 - س -1 ÷ س^3 - س^2 = س - 2 والباقى ( - 2 س^2 - س -1 )
اذا الكسر = س - 2 + ( - 2 س^2 - س -1 ) / س^3 - س^2
= س - 2 + أ / س + ب / س^2 + جـ / ( س - 1 )
= س - 2 + أ س ( س - 1) + ب ( س - 1) + جـ س^2 / س^2 ( س -1 )
التطابقة ( - 2 س^2 - س - 1 = أ س (س -1 ) + ب ( س -1 ) + جـ س^2
نضع س =1 ......... - 4 = جـ (1)^2 .......... جـ = - 4
نضع س = 0 ......... -1 = - ب ..................ب = 1
نضع س = -1 ..........-2 = 2 أ - 2 ب + جـ ............. أ = 2
اذا الكسر = س - 2 + 2/س + 1/ س^2 _ 4 / ( س- 1)
تمرين 6:-
س^4 + 3س^2 - 4س + 5 / س^4 - 2س^3 + 2 س^2 - 2س + 1
بقسمة البسط على المقام ينتج 1 والباقى ( 2 س^3 + س^2 - 2س + 4 )
اذا الكسر = 1 + 2س^3 + س^2 - 2س + 4 /س^4 - 2س^3 + 2س^2 - 2س + 1
= 1 + 2س^3 + س^2 - 2س + 4 / (س -1 )^2 ( س^2 +1)
= 1 + أ/س-1 + ب/ (س -1 )^2 + جـ س + ء / س^2 +1
=1 + أ(س -1) ( س^2 +1) + ب ( س^2 + 1) + جـ س + ء)( س - 1 )^2 / ( س - 1)^2 ( س^2 + 1)
= 1 + ( أ + جـ ) س^3 +( - أ + ب -2 جـ + ء ) س^2 + ( أ + جـ - 2 ء ) س + ( - أ + ب + ء ) / ( س - 1 )^2 ( س^2 +1)
وبتساوى حدود المتطابقة نحصل على
أ + جـ = 2 , -أ + ب - 2 جـ + ء = 1 , أ + جـ - 2 ء = -2
- أ + ب + ء = 4 وبحل هذه المعادلا ت نحصل على
اذا أ = 1/2 , ب = 5 / 2 , جـ = 3/2 , ء = 2
اذا الكسر = 1 + 1 / 2( س -1) + 5/ 2( س - 1) ^2 + 3 س + 4 / 2( س^2 +1)
_________________